在上一篇《二叉树期权定价模型（一）》里面，我们主要介绍的是二叉树基本的建模和一个分叉阶段的二叉树。这一篇将要介绍一下在无套利下的两个分叉阶段的二叉树模型下，如何计算欧式期权和美式期权的价值。
Two-Period Binomial Model for European Option
Two-Period 代表的是从 0 时刻到期权到期是时刻，总共分叉两次，如下图所示。
欧式期权的二叉树定价模型计算步骤
- 先通过 U 和 D 和 Risk-free-rate 把风险中性下的上涨下跌概率算出来\(\pi_{U}\) 和 \(\pi_{D}\)
- 进而算出股价二叉树每一阶段的股价
- 从期权到期日（最后一个分叉的节点）计算 call 和 put 的价值（也即内在价值，也即 payoff）
- 从后向前，用分叉后的两个节点的 call 和 put 的价值以及 \(\pi_{U}\) 和 \(\pi_{D}\)，以及 Risk-free-rate 和每个分叉阶段的时间（折现用） ，去推算前一个分叉点的 call 和 put 的价值
- 重复第 4 步直到推算到起始的 call 和 put 的价值
Two-Period Binomial Model for American Option
在研究美式期权二叉树之前，我们要先来回顾一下美式期权提前行权的内容。
美式期权提前行权
无股利支付的 American call 是不应该提前行权的，因为持有 call 的价值是大于提前行权的拿到的价值的，理性的投资者不会这么做。
有股利支付的 American call 是有可能提前行权的，具体看分红是否足够诱人。
深度实值的 American put 也是有可能被提前行权的。
详细的关于美式期权是否应该提前行权的原因，请参考：
两个阶段的美式期权二叉树模型
对于可能被提前行权的美式期权（也就是说，无股利支付的 American call 是不需要进行如下判断的，直接当成 European call 即可），我们需要对每个节点判断一下是否会提前行权。
- 如果一个节点，提前行权的价值的大于无套利下计算的价值，就应该选择提前行权。
- 每个节点的价值取 max {exercise value，calculated price}
注意：
- CFA 考试中如果只分叉两次，只能在节点的时间点行权，其他时间点是不能行权的，所以不是标准的美式期权。留意题目中说的行权可以在哪里实施，以题目为准。
- 0 时刻的节点也是可能允许行权的，如果通过二叉树从后往前退出来的 0 时刻的 calculated value 比 0 时刻直接行权价值还小，那么应该选择 0 时刻直接行权。
美式期权的二叉树定价模型计算步骤
- 先通过 U 和 D 和 Risk-free-rate 把风险中性下的上涨下跌概率算出来\(\pi_{U}\) 和 \(\pi_{D}\)
- 进而算出股价二叉树每一阶段的股价
- 从期权到期日（最后一个分叉的节点）计算 call 和 put 的价值（也即内在价值，也即 payoff ）
- 从后向前，用分叉后的两个节点的 call 和 put 的价值以及 \(\pi_{U}\) 和 \(\pi_{D}\)，以及 Risk-free-rate 和每个分叉阶段的时间（折现用） ，去推算前一个分叉点的 call 和 put 的价值 （calculated value）
- 对第 4 步计算的 calculated value，和当前节点直接行权的 exercise value 进行比较大小，取 max {exercise value，calculated value} 作为当前节点的 call/put 的价值
- 重复第 4 -5 步直到推算到起始节点的 call 和 put 的价值 calculated value 。同样把起始节点的 calculated value 和直接行权的价值比较大小，取 max {exercise value，calculated value}
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