接下来以 Forward 远期合约为例介绍不同时刻的 price 和 value 。
不同时刻的定价 & 估值
At initiation 零时刻
这个时刻的估值为零，也就是 zero value。
$$ V_{0}(T)=0 $$
这个时刻，远期合约的价格必须被调整到它的初始 value 为零。
那么很多人可能有疑问了，零时刻的远期合约规定的 price 是不是就等于标的资产当前的 price 呢？其实不然。上面举的盒饭的例子实际上比真实情况简化很多。
在真实的远期合约签订的过程中，持有 contract 合同的一方一般没有什么成本，但是持有现货的那一方很可能要承担一些持有成本（和收益）。
而且 forward 合约是规定将来某一个时刻 T 进行一笔交易，这就意味着现货持有方失去了在 0 到 T 期间内赚取无风险收益的机会，那么在起初定价的时候肯定都要考虑在其中的。
Forward Price 严谨的公式为：
$$F_{0}(T)=(S_{0}-\gamma +\theta)(1+r)^{T}$$
\( F_{0}(T) \)： 零时刻签订的T时刻到期的远期合约上约定的 price
\(S_{0}\)： 零时刻的现货价格
\(\theta\)：持有现货的成本在 0 时刻的现值（如：仓储储藏费用、保险费用等）
\(\gamma\)：持有现货的收益 在 0 时刻的现值 （如：股票的分红 dividend、票据的票息 coupon、商品的 convenience yield、外汇远期中基础货币国与报价货币国的利差等）
\(\gamma – \theta\)： 0 到 T 期间 net cost of carry（注意这里是反的，所以 net cost of carry 大于 0 会使得远期价格变小）
r：无风险利率
T：合约中签订的期限（注意折现过程指数上的 T 是以年计算的，如果是 20 天要换算成 20/365 年）
tips：从前往后累积的时候，加成本减收益。但是从后往前折现的时候是反过来的。
举例：现在一只小鸡 10 块钱，三个月养大需要花饲料成本 5 块钱，中间鸡下的蛋可以卖 3 块钱。那么如果现在签一个三个月之后买这只大鸡的远期合约，forward price 应该为 12 块钱。
During its life 期间
这里不存在 forward price 的概念，因为 forward price 在零时刻签订就被固定下来了。
我们一般定义合约的 value 是对多头而言的，也就是对持有 forward 合约的一方。
那么，t 时刻的 value 公式为：
t 时刻 forward 合约价格 = t 时刻即期价格 +（t~T）期间持有的净成本 – 远期合约的现值
$$V_{t}(T)=S_{t}-\gamma *(1+r)^{t_{1}-t} +\theta*(1+r)^{t_{2}-t}-F_{0}(T)(1+r)^{-(T-t)}$$
\( V_{t}(T) \)： 这里的 value 指的是 long 方
\(S_{t}\)：t 时刻的现货价格
\( \gamma *(1+r)^{t_{1}-t} \)： \(t_{1}\) 时刻发生的 benefit 在 t 时刻的现值（0 到 t 期间的收益是不考虑的， 因为已经是过去时了 ）
\( \theta*(1+r)^{t_{2}-t} \)： \(t_{2}\) 时刻发生的 cost 在 t 时刻的现值（0 到 t 期间的成本是不考虑的，因为已经是过去时了）
- without the position 的 value 就是：\( S_{t}-\gamma *(1+r)^{t_{1}-t} +\theta*(1+r)^{t_{2}-t} \)，也就是在 t 时刻就要买入标的资产持有到期，那么 t 时刻到 T 时刻的成本和收益都要算上
- with the position 的 value 就是：\( F_{0}(T)(1+r)^{-(T-t)}\)，也就是拿着合约等到期花\( F_{0}(T)\)的价格买标的资产，把 T 时刻要花的钱折现回到 t 时刻
由此可见，上述的公式 value 完全是按照定义去列的，即： without the position 和 with the position 的差别。
Tips：convenience yield 要灵活看待资产在谁手上，如果 short 方在期间把资产出租享受 rents revenue 租金收益，那么就不存在 convenience yield 了，因为资产不再在自己手上了。
At expiration 到期
到期那一天，没有合同就用现货价格\( S_{T}\) 去买，有合同就用约定的价格\( F_{0}(T)\) 去买，所以 value 直接做差就好了。
所以 T 时刻 long position 和 short position 的 value 公式为：
$$V_{L}(T)=S_{T}-F_{0}(T)$$
$$V_{S}(T)=F_{0}(T) – S_{T} $$
Benefits & costs 怎么影响远期合约的 Valuation
这一小节注意两点：
- \(F_{0}(T)\) 是 long 方给 short 方的钱
- 在 0 到 T 中间，资产是在 short 方手上
Benefits
Benefits 会减少远期合约在期初的 price，也会减少远期合约在期间的 value。
Benefits 通常包括：
- dividend 股利（包括的是现金红利或者实物股利。不包括股票红利，如拆股。如果是实物红利要折算成现金折算成benefits）
- coupon 债券利息（这里不是 interest revenue，coupon 是现金流量的概念，interest revenue 是期初摊余成本*实际利率）
- rents revenue 租金收益
- convenience yield 便利收益，指持有现货带来的无法用钱来衡量的便利。尤其是对生产商，如果持有原材料的远期合约，要到到期才能执行购买，如果持有现货，就可以轻松应对临时急缺原材料的尴尬场景，这当中的无法用钱来衡量的便利称为 convenience yield 。convenience yield 一般发生在大宗商品上，而对于债券远期，股指远期不存在便利收益。
Costs
Costs 会增加远期合约在期初的 price，也会增加远期合约在期中的 value。
Costs 通常包括：
- storage cost 储存成本
- maintenance cost 维持成本
Forward Rate Agreement 远期利率协议
FRA的定义
FRA 的标的是利率（例如：Libor），不是资产。FRA 签订的合同内容是在 T 时刻借一笔钱（可能是接入或者借出）。
FRA 可以用来干什么呢？
用于锁定利率，对冲未来借入或者借出的利率风险。
到期之后，合约上的损失方需要支付收益方一笔钱，这笔钱是基于 名义本金 notional value 的。
具体支付的金额 = 名义本金 x（到期时刻的市场利率 – FRA 约定的利率）
例如：到期市场利率是 8%，FRA 约定的利率是 5%，二者的差是 3%，要折算成钱，也就是乘以约定好的名义本金，比如说是 1 Million，那么支付金额就是 0.03 Million。
Synthetic FRA 合成远期利率协议
例如：你需要一个 30-day FRA on 90-day Libor（FRA 30 天之后到期，合同约定借90天钱），但是可能市场上找不到，就需要 long 一个 120-day 再 short 一个 30-day，来合成想要的 FRA。
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