提前行权 or 卖出

在讲美式期权是否应该提前行权,我们首先要区分一个概念,就是行权和卖出。

在期权市场上,作为一个 American option holder,既有以约定的行权价 K 买入或者卖出标的资产的权利,也有以市场价卖出期权的权利。这是两种完全不同的权利。

我们通常所说的,期权价格/价值(Option Price)包含两部分,一部分叫内在价值 (Intrinsic Value) ,一部分叫外在价值/时间价值(Time Value)。

$$Option Price = Intinsic Value + Time Value$$

期权在二级市场上交易的价格是总的 Option Price,包含了 IV 和 TV 两部分。所以卖出期权得到的就是总的 Option Price。

期权在行权的时候会破坏 Time Value,行权之后得到的只是内在价值 IV

那么既然 holder 既可以选择提前行权,又可以选择卖出,那么如何抉择呢?

看起来卖出得到的 Option Price 似乎总是大于等于提前行权得到的 IV,因此在大部分情况下,如果想放弃手中的权利,似乎卖出都是比提前行权更好的。那什么情况下,理性的投资者会选择行权而不是卖出呢?

  1. 我们在研究期权的时候没有区分 price 和 value,原因是基于“市场是有效的,价格总能反映价值,二者相等”的前提下。但实际上二级市场上影响期权价格的直接因素是供求关系,所以二者不相等的情况也偶有发生。这个时候如果市价低估了,就存在行权比卖出更好的可能。
  2. 当一个期权的 Time Value 为 0 是时候,行权和卖出得到的价值是一样的,所以选哪个都一样,就有可能选择行权。
  3. 卖出期权要考虑到期权市场的流动性。 在真实市场中,期权市场的流动性往往要比股票市场的流动性差,如果你想换回 Option Price 的时候发现,一时找不到足够的对手盘或者 Spread 过大,对手盘报价很不理想,对价卖出得到的价值反而可能比 IV 还小,那当然是优先选择行权。

下文我们讨论的情境是: American Option 应该提前行权还是持有到期?

提前行权 or 持有到期

American Call 提前行权?

假设我们现在持有一份行权价为 K ,到期时间为 T 的 American Call,现在时刻是 t ,当前股价 \(S_{t}\)。

如果提前行权(一定\(S_{T} \geq K \)),就会破坏期权的时间价值,拿到的是 payoff,也就是内在价值 IV。

$$payoff = S_{T} – K$$

如果不提前行权,持有的是期权价值 Option Value。由《期权价格的上下限》一文,

American Call 的价格下限是:

$$OptionValue \geq S – Ke^{-rT} $$

比较一下我们就可以发现,American Call 的 Option Value 总是大于等于 payoff 的。

所以理性的 American Call Option (no dividend) holder 是不会提前行权的,他一定会持有到期。

但是!

但是!

但是!

如果期权存续期间,标的资产是有股利支付的,那么提前行权的收益就变成了:

$$ S_{T} – K + Dividend $$

因此,当即将支付的股利的诱惑足够大,弥补了提前行权的损失的时候,理性的 American Call Option holder 才会提前行权。

American Put 提前行权?

美式看跌期权是否应该提前行权呢?

如果选择在 t 时刻提前行权,就可以提前收到钱 $ K 去赚取无风险收益,最终得到的是:

$$(K – S_{t}) + Ke^{r\times (T – t)}$$

如果选择 wait until T,最终得到的是:

$$K – S_{T}$$

于是我们可以画出下表:

最优选择
若 \( S_{T} = S_{t} – Ke^{r\times (T – t)} \)都一样
若 \( S_{T} > S_{t} – Ke^{r\times (T – t)} \) early exercise at t
若 \( S_{T} < S_{t} – Ke^{r\times (T – t)} \) wait until T

由于标的资产价格下跌是有极限的,极限就是跌到 0。

所以\(S_{T}\) 极限也就是跌到 0。也就是说,如果当前的 American Put 已经深度实值到,

$$ S_{t} \leq Ke^{r\times (T – t)} $$

这个时候,理性的 American Put Option (no dividend) holder 就会选择提前行权, 因为继续等待也不会有更多惊喜了,还不如提前行权拿到到钱 $ K 在 t 到 T 期间赚取无风险收益。

这个时候的 American Put 已经是深度实值了, Time Value = 0 ,也就是说,当前的 Option Price 就等于 Intrinsic Value。

但是!

但是!

但是!

如果期权在未来的 t – T 期间,标的资产是即将有股利支付的,那么持有到期的收益就变成了:

$$ K – S_{T} + Dividend$$

因此,如果即将支付的股利的诱惑足够大,弥补了持有到期的利息损失的时候,理性的 American Call Option (with dividend) holder 就会选择持有到期。

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