单利&非连续复利&连续复利

单利:\((1+r \times T)\)

非连续复利:\((1+r)^{T}\)

这里我们的假设是一年产生一次利息,如果一年产生n次利息,复利的计算应该是下面的式子:

$$(1+\frac{r}{n})^{n \times T}$$

而连续复利就意味着,求上式在n趋于正无穷时的极限值。即:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{n \times T}$$

在数学中e的定义:

$$e=\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$$

那么连续复利下的计算可以写成:

$$ = \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{n \times T} = \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}\times r\times T} =e^{r \times T} $$

连续复利:\( e^{r \times T} \)

注意:单一股票一般用非连续复利,股指一般用连续复利。

Pricing of Equity Index Futures 股指期货合约定价

连续复利(continuously compounded)的形式:

$$F_{0}(T)=S_{0} \times e^{(r_{f}^{c}-\delta^{c}) \times T}$$

非连续复利(annually compounded)的形式:

$$F_{0}(T)=S_{0} \times e^{-\delta^{c} \times T}\times (1+r_{f})^{T}$$

\( r_{f}^{c} \):连续复利下的无风险利率

\(\delta^{c}\):连续复利下的dividend yield

\( r_{f} \):非连续复利下的无风险利率

连续复利 & 非连续复利下的无风险利率什么关系?

如何通过 \( r_{f} \) 得到 \( r_{f}^{c} \) ?

由\((1+r_{f})^{T}=e^{r_{f}^{c}\times T}\)得到:

$$ r_{f}^{c} = ln(1+ r_{f} )$$

连续复利下的无风险利率 \( r_{f}^{c} \) 与 dividend yield \(\delta^{c}\) 大小关系意味着什么?

\( r_{f}^{c}>\delta^{c} \)

由\( F_{0}(T)=S_{0} \times e^{(r_{f}^{c}-\delta^{c}) \times T} \)可知:

这意味着\(F_{0}^{T}>S_{0}\),也就是股指期货合约处于升水contango。

\( r_{f}^{c}<\delta^{c} \)

这意味着\(F_{0}^{T}<S_{0}\),也就是股指期货合约处于贴水backwardation。

Valuatioin of Equity Index Futures 股指期货合约的估值

通用公式:

$$V_{t}=S_{t}\times e^{-\delta^{c}\times (T-t)}-F_{0}^(T)\times e^{-r_{f}^{c}\times (T-t)}$$

或者:

$$ V_{t}=(F_{t}(T)-F_{0}(T))\times e^{-r_{f}^{c}\times (T-t)} $$

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