远期利率&即期利率

即期利率是从现在开始到未来某个时间点,期间的年化利率。比如:一年期的即期利率,两年期的即期利率……

远期利率是从未来的某个时间点到另一个时间点的利率水平 。确定了收益率曲线后,所有的远期利率都可以根据收益率曲线上的即期利率求得,远期利率是和收益率曲线紧密相连的。

FRA 定义

远期利率协议(forward rate agreement)是一个场外的远期合约,其底层标的是浮动利率(e.g. Libor)。

Long Positon 是未来有义务以约定利率借入钱的一方(受益于标的资产价格上涨。到期的实际利率越高,说明 forward 签对了!)

术语:long position borrow at the fixed rate, floating receiver(这里是一个固定说法。到期之后如果是现金交割的话, short 方要给到 long 方补偿,补偿的借贷利率是:实际利率 – FR。FR 是固定的,所以 实际利率-FR 是浮动利率)。

Short Position 是未来有义务以约定利率贷出钱的一方 (受益于标的资产价格下跌。到期的实际利率越低,说明 forward 签对了!)

术语:short position lend at the fixed rate, fixed receiver

FRA 形式

The notation of FRA is typically “\(a\times b\) FRA “

a:the number of months until the contract expires

b:the number of months until the underlying loan is settled

由上图可知,FRA 持续时间是 a,借贷持续时间是 b – a。

这里插一个例子: swaption 互换期权 ,这个衍生品让 long 方将来有权利进入到一个 swap 合约当中。那么 0 时刻对应的就是 option 开始日,a时刻既是option结束日,又是 swap 开始日(如果行权的话),b时刻是 swap 结束日

FRA的用途

锁定利率,对冲未来借入或者贷出利率的风险。

假设FRA 到期时选择现金交割,如果 FRA rate < spot rate,long 方会收到补偿。如果 FRA rate > spot rate,short 方会收到补偿。

$$补偿 = NP \times 利差 \times 时间$$

NP:名义本金(notional value)

注:FRA中是不考虑复利的,用单利(\(1+r\times n\))

FRA 的定价

FRA rate 是通过一系列的即期利率计算的,并且是单利模式。

定价公式:

$$1+ S_{0}(b) \times \frac{b}{12} = (1+ S_{0}(a) \times \frac{a}{12})\times (1+FR_{0}\times \frac{b-a}{12})$$

\(S_{0}(a)\) 和 \(S_{0}(b)\) 是站在 0 时刻看0 – a 期间和 0 – b 期间的即期利率,这个是在市场上有定价的。而 \(FR_{0}\) 是站在 0 时刻看待 a 到 b 这段时间的远期利率,是我们要计算的。

由上式算出 \(FR_{0}\)。

FRA 的估值

首先,我们要确定,0 时刻、t 时刻 、 T 时刻分别在哪里。

FRA 在 0 时刻的价值

$$V_{L} = V_{S} = 0$$

FRA 在 T 时刻的价值

FRA 虽然在 a 时刻就结束了,但是利息是在 b 时刻支付的。所以如果要计算 a 时刻的价值,应该把 b 时刻发生的付息向前折现到 a 时刻。

在 T 时刻,

对 long position 来说,\( 利差 = S_{T}(b) – F_{0}(T) \)。

对 short position 来说,\(利差 = F_{0}(T) – S_{T}(b)\)。

其中,\( S_{T}(b) \) 是 T 时刻看 a – b 期间的即期利率。 \(F_{0}(T)\) 是 0 时刻在 FRA 上签订的价格。

所以,T 时刻对于 long position 的价值应该是:

$$ V_{L,T} = \frac{NP\times ( S_{T}(b) – F_{0}(T) )\times \frac{Days}{360}}{1+ S_{T}(b) \times \frac{Days}{360}}$$

其中,Days 就是借贷期间的天数,也就是(b – a)。

FRA 在 t 时刻的价值

那么如何计算 t 时刻的价值呢?这里要分两个步骤。

计算 t 时刻的新的 \(FR_{t}\)

在t时刻重新签订一份\((a-t) \times b\) FRA

$$(1+S_{t}(b))^{b-t} = (1+S_{t}(a))^{a-t}\times (1+FR_{t})^{b-a}$$

其中,\( S_{t}(b)\)是在 t 时刻看 t – b 期间的即期年化利率。 \( S_{t}(a)\)是在 t 时刻看 t – a 期间的即期年化利率,这两个利率都是市场上有的。

\( FR_{t}\)是在 t 时刻看 a – b 期间的远期利率( 年化 )。

通过上式把 t 时刻的 a – b 期间的借贷利率 \( FR_{t}\) 算出来。

计算 t 时刻 long position 的价值

$$V_{L,t} = \frac{NP \times (FR_{t}-F_{0}(T))\times \frac{b-a}{360}}{1+S_{b-t}\times \frac{b-t}{360}}$$

注意:上式中分子的时间是借贷存续时间(b-a),而分母中的时间是 b 时刻的现金向 t 时刻进行折现。

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