Pricing the Underlying 标的资产定价

present value of discounted cash flow(DCF模型)

把一个金融资产预期的未来价格,加上所有的中间现金净流入(包含benefit 和cost,比如:股息dividends 或者 息票利息coupon interest 或者 运输仓储成本),用适当的比率(折现率视风险而定)进行折现,得到的就是标的资产的价值。

$$S_{0}=E(S_{T})/(1+r+\lambda)^{T}-\theta +\gamma $$

  • \(S_{0}\):spot price
  • \(E(S_{T})\):expected spot price at time T
  • r:risk free rate
  • \(\lambda\):risk premium(风险溢价)
  • \(\theta\) :the present value of the cost of holding an asset
  • \(\gamma\):the present value of the benefit of holding an asset

Pricing the Derivatives 衍生品定价

Arbitrage 套利

  • 套利是一种当两个资产或者投资组合有相同的结果,但价格不同的情况下发生的一种交易。
  • 一价定律:
    • 如果了两个资产有相同的未来现金流,无论怎样都应该有相同的价格
    • 交易者就会迅速抓住套利机会,将套利机会填平,让价格趋于一致
  • 如果通过持有一个无风险的组合(risk-free portfolio)能得到比无风险利率更高的投资回报,那么套利机会就存在。

如果没有衍生品存在,我们很难找到相同的资产。

Replication 复制

定义:用其他资产或者投资组合或者衍生品去构造一个新的资产或者组合

比如:用一个资产和一个相应的对冲头寸,就可以组合成一个等同于无风险资产的组合。假设你有一支股票 S,同时 short 一个 forward,forwar合同规定:三个月之后你可以以 20 块钱卖掉这些股票。那么持有的股票加上 forward 的空头头寸,就构造了一个无风险组合,整个组合保证了三个月之后有 20 块钱的现金流。

Asset + Derivative = Risk-free asset

Asset – Risk-free asset = – Derivative

其中,“-”代表 short 或者以 \(R_{f}\) 去 borrow,“+”代表 long

\(+R_{f}\) 代表 lending at \(R_{f}\),即:花钱去买一个无风险资产获得无风险回报率

\(-R_{f}\) 代表 borrowing at \(R_{f}\),向别人以无风险利率去接入钱

No Arbitrage Pricing 无套利定价

无套利定价建立在一个假设的前提下:假设没有套利机会!

那么根据 Asset – Risk-free asset = – Derivative ,我们可以通过标的资产 Asset 的价格,和无风险利率 risk-free rate 。就可以给衍生品 Derivative 进行定价了。衍生品的定价基本上都是通过这个原理,即用复制的方式去定价。

Risk-neutral pricing 风险中性定价

因为构造的无风险组合,无风险组合给到的是确定的现金流(无风险收益), 投资者被假设是风险中性的,投资者对风险的态度(厌恶程度)不会影响衍生品的价格。

所有的衍生品定价模型最终都是一样的方法,那就是将衍生品预期的 payoff 按照无风险利率进行折现。

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