Plain vanilla interest rate swap,是指固定利率换浮动利率的 interest rate swap(IRS)。

swap’s notion value 决定了两个利率最终对应多少金额。利率互换的 Notional amount 不需要在期初和期末进行交换(货币互换才需要交换名义本金)。期间的现金流,是 netted 轧差取净值,支付金额多的一方给少的一方差额即可。

Floating rate payments 通常是 made in arrears。就是指:利率是期初确定的,利息是期末支付的。

IRS 存续期间的现金流,就好像多笔 forward 的组合。

Pricing 利率互换的定价

Plain vanilla IRS 的定价,就是确定固定端的利率,使得整个合同在期初的价值为零。

如果把 IRS 在期末的现金流,加上一笔相同的本金交换,那么 IRS 的双方也可以看成是买卖债券的双方(一方 long bond,一方 short bond;一个是固息债券,一个是浮息债券)

在每一个 coupon-reset day(付息日)和 initial day 期初,浮息债券都有相同的 par value。

那么我们在确定 fixed-rate bond 的票息率的时候,保证 floating bond 和 fixed-rate bond 的 par 相同。那么 fixed-rate bond 的 coupon rate 就是 Plain vanilla IRS 的固定利率。

由:

浮息债券的面值 = 固息债券的现值

假定 F 是 n 期的面值为 $1 的平价固息债券的每期支付的票息,则有下式:

$$1 = F\times D_{1} + F\times D_{2} + F\times D_{3} + … + F\times D_{n} + 1\times D_{n}$$

其中,dicount factor / PV factor(折现因子)\( D_{n} = \frac{1}{1+r \times n} \),也等于面值为 $1 的 n 期(如果是一个季度,则 n = 1/4)的零息债券的价值。

由上面两个式子,可以推出 IRS 的定价公式:

$$ F = \frac{1-D_{n}}{D_{1} + D_{2} + D_{3} + …+ D_{n}}$$

Tips:F 是每一期的票息,如果要计算 IRS 还需要变成年化的利率!举例:面值为 $1 的债券每个季度的票息 F=0.98%,则 swap rate = 0.98% x 360/9 = 3.92%。

Valuation 利率互换的估值

Method 1 用定义

Swap 的价值,就是计算浮息债券和固息债券价值的差(在存续期间的任何时间点都成立)。

对于 fixed-rate payer(floating-rate receiver):

$$V_{t} = PV_{Floating-rate Bond} – PV_{Fixed-rate Bond}$$

对于 fixed-rate receiver(floating-rate payer):

$$V_{t} = PV_{Fixed-rate Bond} – PV_{Floating-rate Bond}$$

在每一个 settlement date(票息重置日),浮动的票息率会被重置到市场利率,所以浮息债券的价值等于 par value。

Method 2 重签合同看差异

假定在 t 时间点重新签订一份 IRS,固定利率可以签到多少呢?

在 t 时刻来看,t~T 期间内的所有现金流的净现值应该是等于 0 的(签订时刻,合同双方谁也不占便宜不吃亏)。t~T 期间,现金流的笔数可能比 0~T 期间的现金流笔数少。

对于 fixed-rate payer(floating-rate receiver):

$$V_{t} =\Sigma PV[ F_{t}(Fixed Rate) – F_{0}(Fixed Rate)]$$

对于 fixed-rate receiver(floating-rate payer):

$$V_{t} =\Sigma PV[F_{0}(Fixed Rate) – F_{t}(Fixed Rate)]$$

\(F_{t}\) 和 \(F_{0}\) 的大小关系?

如果 0~t 期间,现金流的净值是 0,那么 \(F_{t}\) = \(F_{0}\)。

Tips:CFA 考试中,t 时间点一定是在 settlement date 的。

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