Interest Rate Risk 利率风险

Reinvestment Risk 再投资风险

对于plain vanilla bond 的投资者,会面临 coupon payment 的再投资风险。

利率下行,投资者会更担心再投资风险。

Market Price Risk 市场价格风险

如果债券投资者不打算持有到到期,而是打算提前卖掉,就会面临市场价格风险。

利率上行,投资者会更担心市场价格风险。

Reinvestment Risk & Market Price Risk

由上可见,Reinvestment Risk 和 Market Price Risk 随利率是反向变动的,具体要看哪个占主导,更 care 哪个风险。

如果债券的投资期限比较短,再投资风险比较小,市场价格风险就比较大。市场价格风险占主导,意味着投资收益和利率呈反向关系。

如果债券的投资期限比较长,再投资风险就比较长(中间的每一笔 coupon 都需要面临),市场价格风险就比较小(临近到期,债券价格炒作空间小波动小)。再投资风险占主导,意味着投资收益和利率呈正向关系。

那么,如何定义债券的投资期限是长还是短呢,就要进入麦考利久期的概念。

Macaulay Duration 麦考利久期

Macaulay Duration 衡量的是债券现金流的平均回流时间(单位:年)。

$$MacDur = \sum_{t=1}^{n}t \times \frac{PVCF_{t}}{P_{0}} $$

$$P_{0} = \sum PVCF_{t} $$

Amortizing Bond & bullet bond & zero-coupon bond 的麦考利久期特征

zero-coupon bond 由于只有到期日才有现金流,所以距离到期日剩余时间就是其麦考利久期。

bullet bond 由于大部分现金流集中,所以这笔现金流起主导作用。麦考利久期比较大,靠近剩余期限。

Amortizing Bond 的麦考利久期会比较靠近中间,例如等额本息还款,每笔现金流都是一样的,但是前面的现金流的现值更大一些,所以麦考利久期会比剩余期限的一半还短。

投资期限 & 麦考利久期

当投资期限比麦考利久期长,就认为投资期限偏长,再投资风险占主导,利率下行是不利的。

当投资期限比麦考利久期短,就认为投资期限偏短,市场价格风险占主导,利率上行是不利的。

当投资期限等于麦考利久期长,就认为再投资风险和市场价格风险相抵消,对利率变动免疫。

Tips:上述条件成立的前提条件:距离下一个付息日之前,利率曲线最多只能动一次,且是 parallel shift(平行移动)。

当利率上行时,下图反映的时再投资收益和市场价格损失的关系。

  • 在 Macaulay Duration 左边,市场价格损失占主导。
  • 在 Macaulay Duration 时间点,再投资收益和市场价格损失相抵消。
  • 在 Macaulay Duration 右边,再投资收益占主导。

当利率下行时,下图反映的时再投资损失和市场价格利得的关系。

  • 在 Macaulay Duration 左边, 市场价格利得占主导。
  • 在 Macaulay Duration 时间点, 再投资损失和市场价格利得相抵消。
  • 在 Macaulay Duration 右边, 再投资损失占主导。

Duration Gap 久期差

Duration Gap = Macaulay Duration – investment horizon

Tips:上式不要减反了。

Modified Duration 修正久期

Modified Duration 衡量的是:当利率变动 100 个基点( 1%),债券价格变动百分之几。

$$ ModDur \approx \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = \frac{P_{-} – P_{+} }{2 \times \Delta r \times P_{0}} $$

其中:

  • 当利率下降时,债券价格从 \( P_{0} \) 升高到 \( P_{-} \)
  • 当利率上升时,债券价格从 \( P_{0} \) 下降到 \( P_{+} \) (显然 \( P_{-} > P_{+} \) )

Modified Duration 前面是暗含一个负号的,但是有时会省略掉。

Modified Duration 做的是 linear estimate(线性估计)。也就是说,假定了利率上涨 1% 和 下跌 1%,债券价格变动百分比是一样的。

$$ \frac{\Delta Price}{Price} \approx – ModDur \times \Delta Yield$$

Macaulay Duration & Modified Duration 的关系

由麦考利久期公式(以三期为例):

$$MacDur = \sum_{t=1}^{n}t \times \frac{PVCF_{t}}{P_{0}} = \frac{C_{1}}{1+r} + 2 \times \frac{C_{2}}{(1+r)^{2}} + 3 \times \frac{C_{3} +Par }{(1+r)^{3}} $$

$$P_{0} = \sum PVCF_{t} = \frac{C_{1}}{1+r} + \frac{C_{2}}{(1+r)^{2}} + \frac{C_{3} +Par }{(1+r)^{3}} $$

修正久期的公式:

$$ ModDur = \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = \frac{1}{P} \times \frac{\Delta P}{\Delta r} = \frac{1}{P} \times \frac{d P}{d r} $$

可得:

$$ \frac{d P}{d r} = – \frac{C_{1}}{(1+r)^{2}} – 2 \times \frac{C_{2}}{(1+r)^{3}} – 3 \times \frac{C_{3}+Par}{(1+r)^{4}}$$

进而得到:

$$ ModDur = – \frac{1}{1+r} \times MacDur $$

Tips: 上面公式中的 r 用的是期间利率。如果coupon 是半年付息一次,r 应该是年化利率除以二。

永续债权的修正久期和麦考利久期如何计算?

$$P_{0} = \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^{2}} + \frac{C }{(1+r)^{3}}+…… $$

$$\frac{1}{1+r}P_{0} = \frac{C}{(1+r)^{2}} + \frac{C}{(1+r)^{3}} + \frac{C }{(1+r)^{4}}+…… $$

上面两式相减,我们得到了

永续债券的定价公式:

$$P_{0} = \frac{C}{r}$$

带入到修正久期的定义式,可得:

永续债券的修正久期:

$$ ModDur = \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = – \frac{1}{r} $$

永续债券的麦考利久期:

$$ MacDur = \frac{1+r}{r} $$

由上面两个式子可以看出,永续债券的久期跟 coupon 金额大小无关。

Properties of Duration 久期的性质

当其他因素一致的情况下:

1 . time-to-maturity 越长,久期越大

2 . coupon rate 越大,久期越小

3 . YTM 越大,久期越小

CFA考试中记住上面三条性质即可,但是实际的久期图如下图,了解即可。

Term Structure of Yield Volatility 收益率波动率的期限结构

长端利率的波动率是比较小的,短端利率的波动率是比较大的。这导致收益率波动率的期限结构是斜向下的。

债券价格变化是如下两个因素共同作用的:

  1. YTM 的变动带来的影响(久期的变动)
  2. YTM变动的基点数

短期债券的价格波动率,有可能比长期债券更大,主要是因为收益率波动率大占主导。

Bond Portfolio Duration 债券投资组合的久期

债券投资组合的久期就等于每个债券久期的加权平均。

$$Portfolio duration = w_{1}D_{1}+ w_{2}D_{2}+…… w_{n}D_{n}$$

其中,

$$ w_{1}+ w_{2}+…… w_{n}=1 $$

上式成立有一个前提条件,就是收益率曲线发生的是 parallel shift(平行移动)

Dollar Duration 美元久期

Dollar Duration,也叫 Money Duration,代表利率变动 1%,债券价格变动多少元。

$$ Dollar Duration = \frac{\Delta P}{\Delta r} $$

Dollar Duration,在价格-收益率曲线上代表曲线切线的斜率。

由定义式可以看出,美元久期和修正久期的关系:

$$Dollar Duration = Modified Duration \times P $$

投资组合的 Dollar Duration,等于每一个单一债券的 Dollar Duration 直接相加,不需要加权平均。

Price Value of Basis Point 基点价格值(PVBP)

PVBP 是指,当利率变动 1 个基点的时候,债券价格变动多少元。

根据定义,PVBP 就是美元久期的百分之一。

CFA 考试中如果让计算 PVBP,就用如下公式

$$PVBP = \frac{P_{-} – P_{+} }{2} $$

Effective Duration 有效久期

Macaulay Duration 和 Modified Duration 面对含权债券是不适用的,因此要引入 Effective Duration。

为什么 Macaulay Duration 和 Modified Duration 面对含权债券不适用?

Macaulay Duration 是用来衡量未来现金流的平均回流时间。

callable/putable bond,最大的问题是时间长短不确定(callable bond 投资者不确定发行方什么时候行权,putable bond 投资者也不知道自己未来什么时候行权,因为未来的利率路径不确定),无法用 Macaulay Duration 进行测度。

Modified Duration 衡量的是利率(YTM)变动 1%,债券价格变动百分之几。

callable/putable bond 本身不能保证会持有到期,所以 YTM 没有意义,我们转向用的是 YTC 和 YTP 来衡量持有到行权的收益率。

由于未来的利率变动路径是不确定的,不同期限的利率点都可能影响是否行权。所以单一利率点的变动,对于含权债券的久期是不确定的,但是,如果整条利率曲线是平行移动的,含权债券什么时间行权是最佳时点就确定了,那么就可以衡量它的久期了。

Yield Duration & Curve Duration 收益率久期 & 收益率曲线久期

前文讲过的 Macaulay Duration 和 Modified Duration 都属于 Yield duration 收益率久期,衡量的是单一利率点的变动对债券久期的影响。

Effective Duration 则是属于 Curve Duration,衡量的是整条 benchmark yield curve(基准收益率曲线)发生 parallel shift(平行移动)带来的债券价格变动的敏感程度。

$$EffDur = \frac{P_{-} – P_{+} }{2 \times \Delta curve \times P_{0}} $$

Tips:有效久期不是只能研究含权债券。普通的不含权的债券,也可以用有效久期来衡量,假定整条利率曲线发生 parallel shift 平行移动来进行研究。

Key Rate Duration 关键利率久期

实际在研究 Effective Duration 的时候,如果利率曲线发生 parallel shift 当然是最好的。但是如果是 nonparallel shift 非平行移动,其实几个关键的发生现金流的利率点的利率发生平行移动,一样可以使用 Key Rate Duration 来衡量债券的久期。

Convexity 凸度

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